A derivada de Riemann-Liouville é historicamente a primeira e aquela para a qual a teoria matemática foi estabelecida de forma mais robusta até agora, mas apresenta certas características que podem dificultar sua aplicação a problemas do “mundo real”. Como consequência, a derivada de Caputo foi desenvolvida, em 1967.
A definição de Caputo é particularmente útil no campo da matemática aplicada, pois oferece uma interpretação mais natural das condições iniciais em comparação com a definição de Riemann-Liouville em problemas de valor inicial. Veremos isso em detalhes no item sobre equações diferenciais fracionárias (edf’s). Além disso, a derivada segundo Caputo de uma função constante é zero. No entanto, autores argumentam \textbf{dependência da derivada de Caputo em relação ao instante inicial é coerente com a natureza física de alguns problemas. De fato, a não invariância temporal da derivada de Caputo parece um problema epistemológico dentro da aplicação deste operador.
Para \(0<\alpha<1\):
\[
{}^{C}D_t^{\alpha} f(t)
=
\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}
\int_{0}^{t}
\frac{f'(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha}}\, d\tau.
\]
Defina:
\[
g(t)=f(t-t_0).
\]
Então:
\[
g'(t)=f'(t-t_0).
\]
Logo,
\[
{}^{C}D_t^{\alpha} f(t-t_0)
=
\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}
\int_{0}^{t}
\frac{f'(\tau-t_0)}{(t-\tau)^{\alpha}}\, d\tau.
\]
Agora faça a mudança de variável:
\[
\theta=\tau-t_0 \;\Rightarrow\; \tau=\theta+t_0.
\]
Quando:
\[
\tau=0 \Rightarrow \theta=-t_0, \qquad
\tau=t \Rightarrow \theta=t-t_0.
\]
Portanto:
\[
{}^{C}D_t^{\alpha} f(t-t_0)
=
\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}
\int_{-t_0}^{\,t-t_0}
\frac{f'(\theta)}{(t-t_0-\theta)^{\alpha}}\, d\theta.
\]
Primeiro calcule:
\[
{}^{C}D_t^{\alpha} f(t)
=
\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}
\int_{0}^{t}
\frac{f'(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha}}\, d\tau.
\]
Agora avalie em \(t-t_0\):
\[
\left({}^{C}D_t^{\alpha} f\right)(t-t_0)
=
\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}
\int_{0}^{\,t-t_0}
\frac{f'(\tau)}{(t-t_0-\tau)^{\alpha}}\, d\tau.
\]
Lado esquerdo:
\[
\int_{-t_0}^{\,t-t_0}
\frac{f'(\theta)}{(t-t_0-\theta)^{\alpha}}\, d\theta
\]
Lado direito:
\[
\int_{0}^{\,t-t_0}
\frac{f'(\tau)}{(t-t_0-\tau)^{\alpha}}\, d\tau
\]
A diferença está no intervalo de integração:
\[
[-t_0,\;t-t_0] \quad \text{vs} \quad [0,\;t-t_0].
\]
Logo:
\[
{}^{C}D_t^{\alpha} f(t-t_0)
=
\left({}^{C}D_t^{\alpha} f\right)(t-t_0)
+
\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}
\int_{-t_0}^{0}
\frac{f'(\theta)}{(t-t_0-\theta)^{\alpha}}\, d\theta.
\]
\[
{}^{C}D_t^{\alpha} f(t-t_0)
=
\left({}^{C}D_t^{\alpha} f\right)(t-t_0)
+
\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}
\int_{-t_0}^{0}
\frac{f'(\theta)}{(t-t_0-\theta)^{\alpha}}\, d\theta.
\]
Portanto,
\[
{}^{C}D_t^{\alpha} f(t-t_0)
\neq
\left({}^{C}D_t^{\alpha} f\right)(t-t_0).
\]
O termo adicional:
\[
\int_{-t_0}^{0} (\cdots)\, d\theta
\]
representa memória anterior à origem \(t=0\).
A não invariância decorre exclusivamente do limite inferior finito.
