Número de Euler
O número e é uma constante matemática, assim como o p. O valor de e é de aproximadamente 2,718281828459045235360287. A função exponencial y(x)=ex ou y(x)=exp(x), são os valores de y calculados para diferentes valores de x, fazendo e (2,718281828459045235360287) elevado a x. Tal como fazemos como temos a função y(x)=3x. Outro lugar que o e aparece frequentemente é como base do logaritmo. Você se lembra que logaritmo de y na base a é x, tal que ax=y. É muito comum o uso da base 10, por exemplo, o potencial hidrogeniônico (pH) é menos o logaritmo na base 10 da concentração de H+, i.e. pH = -log([H+]) ou -pH = log([H+]) então 10-pH=[H+]. Para indicar a base no logaritmo usamos o símbolo loga(x), para indicar o logaritmo na base a de x. Outra base que frequentemente encontramos é a base e, para a qual temos um símbolo especial, ln(x)=loge(x). Mas, o e é especial? Por que em ciência é tal frequente o uso do e ou do ln?
De onde o e surgiu? Considere que você empresta para um colega 1 real, por um ano, com juros de 100%. O que você espera receber depois de 1 ano? 1+1=2 reais? Mas, pense um pouco: se ele fosse lhe pagar no meio do ano, ele teria que pagar 1+1/2. Por mais meio ano, seria o juros seria 100% de 1+1/2, i.e.
1+1/2+1/2(1+1/2)=1+2×1/2+(1/2)2=(1+1/2)2.
Isto é 2,25 reias. Ops! E se fosse lhe pagar em abril, ele teria que pagar 1+1/3. Por mais 1/3 de ano, seria
1+1/3+1/3(1+1/3)=1+2×1/3+(1/3)2.
Por mais ¼ de ano, agora fechando o período, seria
1+2´1/3+(1/3)2+1/3(1+2×1/3+(1/3)2)=1+2×1/3+(1/3)2+1/3+2x(1/3)2+(1/3)3
=1+3×1/3+3+3x(1/3)2+(1/3)3
=(1+1/3)3
Receberia então 2.3704 reais. Eu o negócio está melhorando para mim. Generalizando se você dividir o ano em n partes teremos a receber
(1+1/n)n
| n | (1+1/n)n |
| 1 | 2 |
| 2 | 2,25 |
| 3 | 2,3704 |
| 4 | 2,4412 |
| 5 | 2,4883 |
Veja que o resultado de (1+1/n)n converge para um valor quando n cresce. Que valor é este? Sim, o e!
limn®¥ (1+1/n)n = e
mas vamos lá, em ciências é muito comum a variação de uma quantidade ser proporcional a quantidade, assim
df(x)/dx=f(x)
mas que função é esta? Não contanto o caso trivial f(x)=0 está longe de ser óbvio que tal função existe. Vamos calcular a derivada de f(x)=ax e ver o que acontece,
df(x)/dx=limh®0 (f(x+h)-f(x))/h
= limh®0 (ax+h-ax)/h = limh®0 (axah-ax)/h = limh®0 ax (ah-1)/h
= ax limh®0 (ah-1)/h
Se limh®0 (ah-1)/h=1 então df(x)/dx=f(x). Veja que no limite de h®0, temos (ah-1)/h=1 ou
ah-1=h
ah=h+1
a=(1+h)1/h
Então,
limh®0 (1+h)1/h = a
Escrevendo h=1/n teremos
limh®0 (1+1/n)h = a
Já sabemos que o limite acima é e, então a= e. Ou seja, a função ex satisfaz a igualdade df(x)/dx=f(x). Ou seja, a função exp(x) fica inalterada com a derivação! Como é comum que os processos físicos sejam descritos por leis do tipo df(x)/dx=af(x) é natural que estes processos sejam descritos por funções do tipo exp(x).
E o logaritmo natural ln(x), o que tem de especial? Como já vimos o ln(x) é o número y tal que x=exp(y). Portanto, y=ln(x) e x=exp(y), tratam-se de uma única equação, a primeira resolvida para y e a segunda resolvida para x. Para calcular dy/dx da função y=ln(x) podemos fazer derivar implicitamente x=exp(y), assim
dx/dx= dexp(y)/dy dy/dx
1 = exp(y) dy/dx
dy/dx = 1/exp(y) = 1/x
Portanto, dln(x)/dx = 1/x. Temos então duas derivadas que usamos frequentemente: dex/dx = ex e dln(x)/dx = 1/x. Mas, lembre-se que dax/dx ¹ ax e dlog(x)/dx ¹ 1/x. Como um dos propósitos permanentes na ciência, embora os estudantes possam achar difícil de acreditar, é tornar as fórmulas com as quais trabalhamos as mais simples possíveis preferimos usar ex e ln(x).
| para um a qualquer | a=e | |
| dax/dx | loge(a) ax | ex |
| dloga(x)/dx | loga(e)(1/x) | 1/x |
Veja que
y=ax= (ea)x=eax
onde a= ea e lna =a lne, ou seja, lna = alne, portanto,
dax/dx = deax/dx = deu/du du/dx = aeax = (1/lna) ax = loge(a) ax
Agora se
y=ln(x), portanto ey=x
z=log(x), portanto 10z=x
igualando temos
ey=10z
neste caso,
y ln(e) = z ln(10)
logo,
ln(x) ln(e) = log(x)ln(10)
ln(x) = log(x)ln(10)
ou
y log(e) = z log(10)
ln(x) log(e) = log(x) log(10)
ln(x) log(e) = log(x)
Temos então:
ln(x) log(e) = log(x) ou ln(x) = log(x)ln(10)
onde ln(10)=1/log(e)= 2,3026. Sendo assim, se
y=log(x)
y= log(e)ln(x)
dlog(x)/dx = log(e)dln(x)/dx = log(e)(1/x)
