Tipos de derivada fracionária de Grunwald-Letinikov com ordem variável. Estudo baseado na referência Applied Mathematical Modelling 39 (2015) 3876–3888, http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2014.12.009.
Categoria: Cálculo Fracionário
Oscilador Harmônico Fracionário
Oscilador Harmônico Oscilador Harmônico Fracionário Veja que a função E com β=2 leva a um amortecimento, isto pode estar relacionado a um stress do material que perde elasticidade com o tempo (memória)
Cálculo fracionário com ordem variável – parte I
Considere a definição de GL, em que a ordem é variável no tempo $\frac{d^{\alpha(t)} f(t)}{dt^{\alpha(t)}}= \lim_{h\rightarrow 0^+} \frac{1}{h^{\alpha(t)}} \sum_{k=0}^{N} (-1)^k C_{\alpha(t),k}^* f(t-kh)$ com $t\in [0,+\infty)$ e $\alpha \in \Re^+$. Onde $N=\lceil t/h\rceil$, i.e. $N$ é o maior inteiro próximo de $t/h$, isto garante que o menor $t$ que entra no somatório é $0$. Veja que
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Viscoelasticidade Fracionária – parte II
Viscoelasticidade Fracionária – parte I
Estranhezas do Cálculo Fracionário
O Cálculo Fracionário é um área de estudo ‘nova’ e tudo que sabemos sobre o cálculo de ordem inteira tem que ser revisto! Por exemplo, no cálculo de ordem inteira o mínimo de uma função é dado pela condição $df(x)/dx=0$. Sendo assim para a função $f(x)=(x-c)^2$ o mínimo é facilmente encontrado fazendo $df(x)/dx=2(x-c)=0$, i.e, $x=c$.
A regra da cadeia do Cálculo Fracionário
[referência] TARASOV, V. E. On chain rule for fractional derivatives. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, v. 30, n. 1-3, p. 1-4, 2016. (link)
A não comutação dos operadores fracionários
Vejamos alguns exemplos particulares: [referência] Fractional Differential Equations: An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of Their Applications (ISSN Book 198) by Igor Podlubny
Inconsistências no Cálculo Fracionário
Vou dar um exemplo para ilustrar que se a ordem da derivada fracionária tende para o valor 1, então o limite à esquerda e o limite à direita podem fornecer resultados diferentes. A lei de arrefecimento de Newton estabelece que a variação de Temperatura ao longo do tempo de um material ao esfriar é proporcional
Equação de difusão fracionária
Equação auxiliar I logo Equação de Difusão nosso objetivo é encontrar <x2> Equação de difusão fracionária Nosso objetivo é encontrar a equação que governa um processo que leva a um <x2> anômalo seguiremos agora o caminho inverso que fizermos para resolver a equação de difusão (de ordem inteira) Logo Equação auxiliar II
