Prof. Nelson H. T. Lemes (Química-UNIFAL)
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Considere a definição de GL, em que a ordem é variável no tempo $\frac{d^{\alpha(t)} f(t)}{dt^{\alpha(t)}}= \lim_{h\rightarrow 0^+} \frac{1}{h^{\alpha(t)}} \sum_{k=0}^{N} (-1)^k C_{\alpha(t),k}^* f(t-kh)$ com $t\in [0,+\infty)$ e $\alpha \in \Re^+$. Onde $N=\lceil t/h\rceil$, i.e. $N$ é o maior inteiro próximo de $t/h$, isto garante que o menor $t$ que entra no somatório é $0$. Veja que
Continue reading Cálculo fracionário com ordem variável – parte I
O Cálculo Fracionário é um área de estudo ‘nova’ e tudo que sabemos sobre o cálculo de ordem inteira tem que ser revisto! Por exemplo, no cálculo de ordem inteira o mínimo de uma função é dado pela condição $df(x)/dx=0$. Sendo assim para a função $f(x)=(x-c)^2$ o mínimo é facilmente encontrado fazendo $df(x)/dx=2(x-c)=0$, i.e, $x=c$.
[referência] TARASOV, V. E. On chain rule for fractional derivatives. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, v. 30, n. 1-3, p. 1-4, 2016. (link)
Vejamos alguns exemplos particulares: [referência] Fractional Differential Equations: An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of Their Applications (ISSN Book 198) by Igor Podlubny
Vou dar um exemplo para ilustrar que se a ordem da derivada fracionária tende para o valor 1, então o limite à esquerda e o limite à direita podem fornecer resultados diferentes. A lei de arrefecimento de Newton estabelece que a variação de Temperatura ao longo do tempo de um material ao esfriar é proporcional
Equação auxiliar I logo Equação de Difusão nosso objetivo é encontrar <x2> Equação de difusão fracionária Nosso objetivo é encontrar a equação que governa um processo que leva a um <x2> anômalo seguiremos agora o caminho inverso que fizermos para resolver a equação de difusão (de ordem inteira) Logo Equação auxiliar II
Para uma equação diferenciais ordinária com condição inicial u(x,0) = u0(x), a solução no tempo t é dada por u(x,t;u(x,0)). Se t’ é tal que 0 < t’ < t, e considerarmos o problema definido pela condição inicial u(x,t’) = ut’(x) então a solução encontrada no tempo t é a mesma que antes, u(x,t;u(x,t’)) =
Continue reading Propriedade de fluxo das equações diferenciais fracionárias
A lei de arrefecimento de Newton estabelece que a variação de Temperatura ao longo do tempo de um material ao esfriar é proporcional a diferença de temperatura entre o material e a vizinhança, isto é $\frac{dT(t)}{dt}=\lambda (T(t)-T_a)$ A solução desta equação diferencial pode ser encontrada pelo método operacional usando transformada de Laplace, O mesmo método
Continue reading A lei de arrefecimento de Newton fracionária
