Tanto Leibniz quanto Newton são vistos como co-inventores independentes do Cálculo Integral e Diferencial. A diferença entre os trabalhos de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz sobre o cálculo diferencial e integral está na motivação, abordagem filosófica, terminologia e notação adotadas por ambos. O foco de Newton estava principalmente na aplicação prática do cálculo para resolver problemas de física, quantificando as mudanças de grandezas ao longo do tempo. Leibniz, por outro lado, tinha um enfoque mais abstrato, usado para entender funções, taxas de variação e áreas sob curvas.
Newton utilizou uma notação geométrica em seus trabalhos. Leibniz, em contraste, introduziu uma notação simbólica.
A escolha e o uso corretos dos símbolos são essenciais, pois nos permitem compartilhar informações, comunicar pensamentos e construir conceitos abstratos. Mas até onde podemos ir com os símbolos? Será que a linguagem que usamos limita nossa capacidade de nos expressarmos? Como discutido, grande parte deste texto aborda como usamos símbolos para representar ou nos referir aos aspectos de uma ideia. É importante observar que os símbolos transcendem a simples tradução literal de uma ideia. A notação é mais que uma simples concisão ou codificação, indo além de uma mera comunicação de ideias. O uso de um formalismo ou notação pode sugerir novas questões, generalizar ideias, eliminar ambiguidades e motivar avanços. Por outro lado, uma notação ruim pode deixar o horizonte nebuloso, atrasando avanços e dificultando conexões.
Newton usava um ponto sobre uma letra para indicar a derivada de uma função, $v=\dot{x}$. Para integração Newton não usava um símbolo específico, essa operação estava mais implícitamente colocada.
No seu famosos livro, {\it Principia}, Newton empregava uma linguagem mais verbal, descritiva e geométrica para expressar os conceitos que agora associamos ao Cálculo.
Por outro lado Leibniz introduziu a notação que hoje é amplamente utilizada, $dx$, $dx/dt$ e $\int v dt$.
A notação sugerida por Leibniz desempenhou um papel crucial na divulgação, compreensão e desenvolvimento do cálculo.
A notação usual \( \frac{d^n y}{dx^n} \) para a \( n \)-ésima derivada de \( y \) em relação a \( x \), onde \( n \) é um inteiro positivo, foi introduzida por Leibniz, sendo bastante difundida nos livros universitários. % Newton utilizava \( \dot{y} \).
Hoje em dia, as notações \( y^{(n)} \) e \( D^n y \), para representar \( \frac{d^n y}{dx^n} \), também são comuns. Para derivadas de ordem $1$ ou $2$, também é comum o uso das notações \( y’ \) e \( y” \), bem como \( \dot{y} \) e \( \ddot{y} \), ao estilo Newton. Portanto, fique atento com as notações,
\[
\ddot{y}= y” =y^{(2)}=D^2y=\frac{d^2y}{dx^2} =d_{xx}y
\]
\noindent
representam a mesma coisa: a derivada segunda de \( y \) em relação a \( x \).
A notação de Leibniz facilita a generalização de conceitos. Por exemplo, ele usou a notação para expressar não apenas derivadas e integrais de funções de uma variável, mas também para funções de múltiplas variáveis e integrais múltiplas, permitindo que os matemáticos expandissem os conceitos do cálculo para problemas mais complexos. Neste sentido, é natural que a provável origem do Cálculo Fracionário esteja ligada à Leibniz.\footnote{Como Newton faria para representar uma derivada de ordem $1/2$ com sua notação.}
A controvérsia sobre a origem do cálculo fracionário não é meramente cronológica, mas epistemológica e conceitual: trata-se de definir o que constitui, de fato, a “primeira formulação” de uma derivada de ordem não inteira, ou simplesmente ter citado a possibilidade.
A controvérsia não é sobre quem veio primeiro, mas sobre o que conta como “origem”.
No documento 163 da coletânea
https://leibniz.uni-goettingen.de/files/pdf/Leibniz-Edition-III-6.pdf,
temos uma carta de L’Hospital para Leibniz, datada de setembro de 1695 (p. 503). Ele encerra a carta e, em seguida, acrescenta:
P.S. “Acabo de receber neste momento a honra de vossa carta…”
Isso sugere que ele recebeu uma nova carta de L’Hospital enquanto finalizava a sua (esta carta de L’Hospital me parece que não foi preservada!) e, então, adicionou uma explicação sobre somas de diferenças (derivações), referindo-se a Bernoulli. Em determinado momento, aparece a frase:
“La somme n’estant qu’une difference negative on peut demander que c’est, qu’une difference dont l’exposant est un nombre rompu; on le peut exprimer per seriem infinitam, sed quid est in Geometria?”
Ao final da carta, encontra-se o trecho:
“Há razões para crer que um dia se extrairão consequências muito úteis desses paradoxos, pois dificilmente há paradoxos sem utilidade”,
que é amplamente citado. Pela resposta dada fica a impressão que na carta de L’Hospital ele haveria questionado sobre n. Não seria este o verdadeiro registro histórico ao qual todos se referem?
A carta de Bernoulli à qual se faz referência (fevereiro de 1695) corresponde ao documento 102 (p. 308). Ao examiná-la, observa-se que ele afirma:
“onde é preciso notar que (e) pode ser um número não inteiro, mas (m) (expoente da diferença) deve ser sempre inteiro, a menos que alguém queira, à maneira das potências metafísicas (ou logaritmos), imaginar também não sei que diferenças (ou somas) ‘metafísicas’” (início da p. 313).
Este episódio clássico das cartas de Leibniz é, em geral, usado para atribuir à troca de correspondência entre Leibniz e Bernoulli (fev. 1695) ou entre Leibniz e L’Hospital (set. 1695) o nascimento do cálculo fracionário. No entanto, segundo parece aos matemáticos, Leibniz trata isso como uma curiosidade formal, sem definição rigorosa. Portanto: não há teoria; não há operador bem definido; trata-se de uma antecipação heurística.
Pode-se dizer que Leibniz introduz o problema, mas não o resolve.
Muitos textos clássicos atribuem a Riemann (em conjunto com Liouville) a fundação do cálculo fracionário, via a chamada derivada de Riemann–Liouville. Podemos citar a referência
https://www.numdam.org/item/RHM_1997__3_1_49_0/
L’élaboration par Riemann d’une définition de la dérivation d’ordre non entier
[Riemann’s work on defining the concept of a fractional calculus]
Dugowson, Stéphane idref
Revue d’histoire des mathématiques, Volume 3 (1997) no. 1, pp. 49-97
No livro de memórias Versuch einer allgemeinen Auffassung der Integration und Differentiation
[https://www.cambridge.org/core/books/abs/bernard-riemanns-gesammelte-mathematische-werke-und-wissenschaftlicher-nachlass/versuch-einer-allgemeinen-auffassung-der-integration-und-differentiation-1847/89CF0B1B969208AE3F4BD5CBD78C443C
XIX – Versuch einer allgemeinen Auffassung der Integration und Differentiation. (1847.)
Published online by Cambridge University Press: 05 October 2014],
Riemann dedicou-se a uma derivação de ordem incompleta.
O objetivo de Riemann é claramente declarado no início de seu artigo: generalizar a diferenciação para ordens não inteiras. Ao contrário de Liouville, para quem tal generalização respondia à necessidade de uma ferramenta adaptada para resolver equações provenientes da física, Riemann considera esse problema em si mesmo: nenhuma aplicação, mesmo puramente matemática, é evocada. Além disso, na época em que escreveu seu artigo, Riemann desconhecia que outros matemáticos também haviam analisado a questão.
Nessa obra, Riemann busca não apenas estender a derivação a ordens não inteiras, um objetivo que ele acreditava ter sido o primeiro a estabelecer para si mesmo, mas também pretende contribuir, por meio dessa generalização, para demonstrar a utilidade das séries divergentes.
Contudo, essa atribuição também é problemática, já que a formalização operacional não aparece de modo sistemático em sua obra.
Henri Laurent afirma que a primeira ideia de calcular derivadas com índices arbitrários remonta a Leibniz; mas é a Liouville que devemos a demonstração de todo o potencial que poderia ser derivado dessa generalização do cálculo diferencial, podendo ele ser considerado o verdadeiro criador da nova teoria. Em 1874, o Sr. Letnikov propôs uma nova definição de derivadas com índices fracionários, à qual não há qualquer crítica a ser feita. Aqui há uma teoria funcional real, com uso explícito de limites em $-\infty$.
Paul Lévy, em 1923, afirma que Riemann introduziu na análise uma operação funcional que generaliza a diferenciação, e que pode ser chamada de diferenciação de ordem não inteira. Em suas memórias, Paul Lévy corrigiu essa atribuição a Riemann da paternidade das derivadas de ordem não inteira, citando a teoria de Liouville, especificando imediatamente que a construção essencial já estava em Liouville. Destaca ainda que a formulação com limite inferior em $-\infty$ é conceitualmente mais fundamental. Nesse sentido, o nascimento do cálculo fracionário é em 1832 [Memóire sur quelques questions de Géométrie et de Méchanique, et sur un nouveau genre de calcul pour resolver ces questions J. Éc. Polytech., Paris, 13 (1832), pp. 1-69].
A divergência decorre de três critérios distintos de “origem”:
(i) Origem formal (notacional): Leibniz (1695)
(ii) Origem operacional (definição funcional): Liouville (1832)
(iii) Origem sistemática (integração em teoria matemática mais ampla): Riemann (1874)
