O artigo clássico de Montroll e Weiss, “Random Walks on Lattices. II. Continuous-Time Random Walks”, introduz formalmente o modelo de Continuous-Time Random Walk (CTRW) como uma generalização conceitual do passeio aleatório clássico. Nessa formulação, duas hipóteses fundamentais são relaxadas: (i) os tempos de espera entre eventos sucessivos passam a ser variáveis aleatórias e (ii) os saltos espaciais e os tempos de espera são estatisticamente independentes. A consequência central dessa generalização é que, ao abandonar a suposição implícita de tempos de espera exponenciais (hipótese markoviana), a dinâmica média deixa de ser descrita por equações diferenciais locais no tempo e passa a ser governada por equações integrais com memória.
Considere inicialmente um processo irreversível de transição \(A \rightarrow B\). Seja \(\psi(t)\,dt\) a probabilidade de que a transição ocorra no intervalo de tempo entre \(t\) e \(t+dt\). A função de sobrevivência \(\Psi(t)\) é definida como a probabilidade de que a transição ainda não tenha ocorrido até o tempo \(t\), isto é, que o evento ocorra apenas em um instante posterior a \(t\). Por definição probabilística, tem-se
\[
\Psi(t)=\int_t^\infty \psi(t^\prime)\,dt^\prime
=
1-\int_0^t \psi(t^\prime)\,dt^\prime.
\]
Como o processo é irreversível e não há reposição da espécie \(A\), a probabilidade de encontrar o sistema ainda no estado \(A\) no tempo \(t\) coincide exatamente com a função de sobrevivência. Portanto,
\[
P_A(t)=\Psi(t),
\]
assumindo que \(\psi(t)\) é normalizada.
Passando para o domínio de Laplace, obtém-se diretamente a relação
\[
\hat{P}_A(s)=\hat{\Psi}(s)=\frac{1-\hat{\psi}(s)}{s},
\]
que expressa a probabilidade de sobrevivência em termos da transformada de Laplace da densidade de tempos de espera.
É conveniente introduzir o núcleo de memória no domínio de Laplace por meio da definição
\[
\hat{K}(s):=\frac{s\,\hat{\psi}(s)}{1-\hat{\psi}(s)}.
\]
Com essa definição, a expressão para \(\hat{P}_A(s)\) pode ser reescrita de forma compacta como
\[
\hat{P}_A(s)=\frac{1}{s+\hat{K}(s)}.
\]
Assumindo a condição inicial \(P_A(0)=1\), essa relação é equivalente à equação algébrica
\[
s\hat{P}_A(s)-P_A(0)+\hat{K}(s)\hat{P}_A(s)=0.
\]
Ao retornar ao domínio do tempo por transformada inversa de Laplace, obtém-se a equação mestra integro-diferencial característica do formalismo CTRW,
\[
\frac{dP_A(t)}{dt}
=
-\int_0^t K(t-t^\prime)\,P_A(t^\prime)\,dt^\prime.
\]
Essa equação expressa de forma explícita o caráter não local no tempo da dinâmica, uma vez que a taxa de variação de \(P_A(t)\) depende de toda a história passada do sistema ponderada pelo núcleo de memória \(K(t)\).
No limite markoviano clássico, os tempos de espera são distribuídos exponencialmente. Considerando
\[
\psi(t)=k\,e^{-kt},
\]
tem-se
\[
\hat{\psi}(s)=\frac{k}{k+s}.
\]
Substituindo essa expressão na definição do núcleo, obtém-se
\[
\hat{K}(s)=k,
\]
cuja transformada inversa é
\[
K(t)=k\,\delta(t).
\]
Inserindo esse resultado na equação mestra, obtém-se imediatamente
\[
\frac{dP_A(t)}{dt}
=
-k\,P_A(t),
\]
que corresponde à lei cinética de primeira ordem usual, característica de processos markovianos sem memória.
Considere agora o caso não markoviano, no qual a densidade de tempos de espera apresenta cauda longa. Nesse contexto, assume-se uma forma assintótica caracterizada no domínio de Laplace por
\[
\hat{\psi}(s)=\frac{1}{1+(\tau s)^\alpha},
\qquad
0<\alpha<1.
\]
Essa escolha corresponde, no domínio do tempo, a uma estatística de espera governada por uma função de Mittag–Leffler, \(\psi(t)=\frac{t^{\alpha-1}}{\tau^\alpha} E_{\alpha,\alpha}(-(t/\tau)^\alpha)\).
A partir da expressão de \(\hat{\psi}(s)\), o núcleo de memória no domínio de Laplace torna-se
\[
\hat{K}(s)=\tau^{-\alpha}s^{1-\alpha}.
\]
A transformada inversa fornece o núcleo temporal
\[
K(t)=\frac{\tau^{-\alpha}}{\Gamma(\alpha-1)}\,t^{\alpha-2},
\]
que decai lentamente no tempo, refletindo a presença de memória de longo alcance. Para \(0<\alpha<1\), tem-se \(\alpha-2<-1\), de modo que \(t^{\alpha-2}\) é singular em \(t=0\), requerendo interpretação no sentido de distribuições.
Substituindo esse núcleo na equação mestra, obtém-se
\[
\frac{dP_A(t)}{dt}
=
-\frac{\tau^{-\alpha}}{\Gamma(\alpha-1)}
\int_0^t (t-t^\prime)^{\alpha-2}P_A(t^\prime)\,dt^\prime.
\]
No domínio de Laplace, essa equação equivale a
\[
s^\alpha\hat{P}_A(s)-s^{\alpha-1}P_A(0)
=
-\tau^{-\alpha}\hat{P}_A(s).
\]
Ao retornar ao domínio do tempo, obtém-se finalmente a equação cinética fracionária
\[
D^\alpha P_A(t)
=
-\tau^{-\alpha}P_A(t),
\]
onde \(D^\alpha\) denota a derivada fracionária de ordem \(\alpha\) no sentido de Caputo.
Esse resultado evidencia que a cinética fracionária emerge como consequência matemática direta das hipóteses probabilísticas fundamentais do modelo CTRW, estabelecendo o cálculo fracionário como a linguagem natural para descrever dinâmicas cinéticas governadas por estatísticas de espera não exponenciais.
