Veja que a derivada de uma função y(x) em relação a x é definida por
y’(x) = limx0 (y(x+x)-y(x))/x
é intuitivo que se x tende a zero, então a diferença y(x+)-y(x) também tende a zero, e teríamos uma indeterminação. No entanto, este resultado é finito e tende ao valor da inclinação da cura tangente a função y(x) no ponto x. O que ocorre de confuso, é que normalmente usamos outra notação para isto dy/dx. Mas, veja que o limite da razão não é razão dos limites
y’(x) = limx0 (y(x+x)-y(x))/x limx0 (y(x+x)-y(x))/limx0 x
A notação de derivada semelhante a uma razão nos dá a impressão de que se trata de fato de uma razão. Mas, o que torna a questão mais intrigante é que em muitos casos podemos usar dy/dx como uma fração. Ou seja, na prática podemos manipular dy/dx como uma razão entre dy e dx que tudo vai funcionar. Mas, se não é uma razão por que funciona como uma razão?
Até agora estamos discutindo funções de um a variável, já que neste caso, a derivada dy/dx se confunde com a razão entre os infinitesimais dy e dx. Se analisarmos para funções com mais de uma variável, isto não é válido.
Acima temos o que chamamos de diferencias dy e dx. O acréscimo de x, x, que usamos na definição da deriva é definido por x=x2-x1. Seja y=f(x), então uma variação em x gera uma correspondente variação em y,
y=y2-y1=f(x2)-f(x1)=f(x+)-f(x)
Agora, considere que vamos definir o diferencial de uma função y, dy, como o acréscimo sofrido pela ordenada da reta tangente correspondente a um acréscimo ∆x sofrido por x. Desta forma-se
dy = f’(x) ∆x
Considerando, dx=∆x, podemos escrever dy = f’(x) dx ou
dy = (dy/dx) dx
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dy/dx ~ dy/dx
do lado direito temos uma razão, do lado esquerdo não. Veja que, diferente de dx que é igual a ∆x, ∆y é diferente de dy. Agora a razão dy/dx é igual a dy/dx. A notação dy/dx pode agora ser considerada um quociente entre duas diferenciais.
