Um conjunto é simplesmente uma coleção de objetos. Os objetos em um conjunto são às vezes chamados de elementos. Uma maneira de especificar um conjunto é simplesmente listar seus elementos. Por exemplo, o conjunto W dos dias da semana é:
W = {Domingo, Segunda-feira, Terça-feira, Quarta-feira, Quinta-feira, Sexta-feira, Sábado}.
Qual é o tamanho do conjunto W? a resposta é n=7! Como sabemos que existem sete elementos em W? Bem, nós simplesmente contamos os elementos. Mas o que significa contar? Esta parece uma pergunta boba, mas pensar cuidadosamente sobre a contagem será a chave para entender diferentes tipos de infinito.
Para fazer isso, vamos considerar o conjunto S, que definiremos como consistindo dos primeiros sete números naturais:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Claramente, existem sete elementos neste conjunto (Por definição de número natural). Aqui está o passo fundamental. Quando dizemos que o conjunto W tem sete elementos, o que realmente queremos dizer é que para cada elemento em W existe um e apenas um elemento em S. Existe uma relação biunívoca entre eles! Isso estabelece que os dois conjuntos W e S têm o mesmo número de elementos.
Resumindo, a ideia principal é que medimos o tamanho, ou cardinalidade, de um conjunto comparando-o com outro conjunto. Dois conjuntos têm a mesma cardinalidade se houver uma relação biunívoca entre os membros dos conjuntos. Um conjunto constituído pelos primeiros n números naturais tem cardinalidade n. Isso nos dá um ponto de partida.
Para o nosso primeiro conjunto infinito, consideremos o conjunto de todos os números naturais.
Chamaremos este conjunto de N:
N = {1, 2, 3, 4, 5, …}.
Este conjunto é infinito; os números naturais continuam indefinidamente e indefinidamente. Consideraremos a existência deste conjunto como um dado.
Para mostrar que um conjunto é enumerável, tudo o que precisamos fazer é encontrar uma maneira de contá-lo. Em outras palavras, precisamos mostrar que existe uma relação biunívoca entre os elementos de N e o conjunto que estamos tentando
contar. Como exemplo, considere E, o conjunto dos números pares:
E = {2, 4, 6, 8, …}.
Qual é a cardinalidade deste conjunto? De forma um tanto surpreendente, sua cardinalidade é a mesma que a de N. Para estabelecer isso, precisamos encontrar uma regra que associe cada elemento de N a um e somente um elemento de E.
Tal regra é fácil de encontrar:
$1 \rightarrow 2 $
$2 \rightarrow 4$
$3 \rightarrow 6 $
$4 \rightarrow 8$
e assim por diante. Como encontramos uma relação biunívoca entre os elementos de N e E, os dois conjuntos têm o mesmo tamanho; eles têm a mesma cardinalidade. Isso parece contraintuitivo, já que claramente existem elementos de S que
não estão em E. Os números 3, 5, 7 e assim por diante, estão no conjunto dos números naturais, mas não estão no conjunto dos números pares. Dado que o conjunto dos números naturais contém objetos que não estão no conjunto dos números pares, como é possível que os dois conjuntos tenham o mesmo tamanho? Na raiz dessas questões está a natureza contraintuitiva do infinito. $\infty$ não é um número da mesma forma que 4 ou 100.000! Não podemos fazer aritmética com $\infty$, mas podemos comparar a cardinalidade de conjuntos, como fizemos agora.
Agora, o que é um conjunto infinito “não enumerável”? Um conjunto não enumerável, portanto, é um infinito tão “grande” ou tão “denso” que é impossível criar uma lista que contenha todos os seus elementos sem deixar ninguém de fora. O exemplo mais famoso de um conjunto não enumerável é o conjunto dos números reais entre 0 e 1. Pense bem: entre o 0 e o 1, existem infinitos números. Se você tentar listar (0,1; 0,01; 0,001…), sempre haverá um número entre dois números que você acabou de listar.
